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如何計算一生所能遇到氣象史破紀錄的次數?

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[LV.Master]伴壇終老

2010-11-17 11:25 | 顯示全部樓層
這則文章寫自1987年,裡頭簡短的計算滿有趣的,不過身處在21世紀天氣萬變的時代,人的一生遇到5次氣象史上破紀錄應不止4、5次吧?感覺有好多次喔!

氣象紀錄與機率


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炎炎溽暑,又逢颱風季節,今年的夏季最高氣溫和颱風挾帶的豪雨,是否又如已往般的再度改寫氣象紀錄呢?去年十月廿三日至廿六日的琳恩颱風,在台北地區帶來豪雨,使許多地點的單日降雨量均打破已往紀錄,造成了重大災害。

在閱讀本文之前,你是否曾想過創新氣象紀錄是否和刷新運動紀錄一樣容易而且頻繁?在人的一生當中(假定是100年),可以預期看到幾次新締造的氣象紀錄?

氣象紀錄的特性

基本上,氣象紀錄和運動場上的紀錄並不一樣。運動場上的紀錄是由運動員締造的,運動員時時刻刻都在努力,他們想盡各種方法去超越前人的紀錄。所以在運動場上打破紀錄的報導時有所聞,不足為奇。反之,在自然界中出現最高氣溫、最低氣溫、或降下最大降雨量等氣象紀錄,卻相當稀罕。造成這種現象的主要原因乃是:前者是人為的,後者是非人為的;前者是非隨機現象,而後者是隨機現象。

從統計學的觀點來看,隨機現象乃是樣本的選取,完全由機會決定,不受任何人為影響。譬如擲一粒非常勻稱的骰子,得到1、2、3、4、5和6點的機會通通一樣,都是1/6。又如擲一枚鑄造非常完美的10元硬幣,得到人像和梅花的機率各有為1/2。像這些現象,各個事件出現的機會都相等者,就是隨機現象。

就氣象觀點而言,今年出現的最高氣溫和明年出現的最高氣溫之間,並無直接關係;同樣,今年的降雨量和明年的降雨量之間,也無直接關係。除非我們能證明氣象紀錄是由冥冥中的老天爺控制著,而且祂也是像運動員一樣,存心要時時重新締造氣象紀錄,否則我們乃將氣象現象當做隨機現象來處理。當然,隨著科技的進步,有朝一日人類若能夠主宰全地球的氣候變化時,上述的假設也就不成立了。

氣象紀錄的期望期

我們已假設氣象現象是一種隨機現象。對任何一種隨機現象而言,我們預期它可能出現的平均數即是期望值(expectation)。例如,張三擲一粒骰子,規定出現1點得1元,2點得2元,……,6點得6元,那麼張三擲一粒骰子一次,平均可得若干元?又如,李四擲一枚硬幣,規定出現人像得2元,出現梅花得1元,那麼李四擲一枚硬幣一次,平均可得若干元?這兩個題目的期望值如何計算呢?

就數學而言,若有一個變數x,其各個變量出現的機率密度為f(x)(連續事件)或Pi(不連續事件)則其期望值E(X)之定義如下:

【瀏覽原件】(不連續事件)

【瀏覽原件】(連續事件)

根據上面公式,我們可以計算張三和李四的平均得款數目如下:

張三平均得款為

【瀏覽原件】

李四平均得款為

【瀏覽原件】

現在我們再來看看氣象紀錄的期望值。譬如,以年總降雨量為例,10年當做一個期間,若創造紀錄得1分,未破記錄得0分,則10年間,破紀錄的平均分數(即次數)是多少?

毫無疑問,第一年一定是創造紀錄,因為它根本就無紀錄可供比較,所以第一年破紀錄的機率是1。第二年的總降雨量可能超過第一年,也可能不超過第一年,所以要刷新紀錄的機率應該是1/2。第三年的年總降雨量要創新紀錄的機率1/3。其餘者依此類推,第十年的年總降雨量要創新紀錄的機率則為1/10。因而10年期間,破紀錄的期望值如以:

【瀏覽原件】

由上述計算,可以得到10年期間破紀錄的次數是2.92次,非常接近3次。

那麼20年、30年或更長的年數,我們可望會碰到幾次氣象紀錄被重新改寫呢?不難推知。

氣象實例

理論上的創新氣象紀錄的期望值可由上述公式求得,那麼在實際生活當中,締造新的氣象紀錄次數是否都遵守上述法則呢?茲以台北市最近20年(1967~1986年)之年降雨量為例,做一說明。下表是台北最近20年來的年降雨量資料。

首先討論20年為一期間之氣象紀錄。第一次締造紀錄自然是1967年的1643.7公厘;1968年打破紀錄,為2020.8公厘;1969年再破紀錄,為2550.1公厘;一直到1984年,才又再破紀錄,出現2711.3公厘,以迄1986年。20年期間中,共創紀錄4次。在理論計算中,20年期間創新紀錄的次數是3.60次。由此可知,兩者之間相當一致。

再進一步,以10年期間為準,檢查理論與實際情形之差異。先以1967年~1976年的10年期資料來看,第一次紀錄是1967年的1643.7公厘;第二次創新紀錄是1968年的2020.8公厘;第三次是1969年的2550.1公厘。10年當中,共創新紀錄3次。再以1977~1986年的10年期間資料為準,第一次紀錄為1977年的2486.7公厘;第二次創新紀錄是1984年的2711.3公厘。這10年期間,創新紀錄共有2次。從理論上而言,10年期間的創新氣象紀錄次數應該是2.92次。由此可知,台北這二個10年期間的創新紀錄次數,也相當符合理論次數。

讀者如有興趣,試算算在人類一生當中,若平均壽命是70歲,那麼可望遇上幾次創新氣象紀錄?想獲得答案,應該不難,只要將1、1/2、1/3、……1/70加起來即可,約是4.83,很接近5。若人類平均壽命延長到100歲,那麼又可碰上多少次創新氣象紀錄呢?很不幸,次數並無明顯增加,理論值是5.18,仍在5次左右。由此可以推測,在我們一生當中,可望遇到5次締造新的氣象紀錄。

姜善鑫任教於台灣大學地理系
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